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生病加重（第1页）

“来，大家欢迎！”

噼里啪啦的掌声响起，全班人的目光汇聚在许清圆身上，任老师笑呵呵地看着她走上讲台，鼓励道：

“你怎么想的怎么说就行了，关键步骤可以写在黑板上。”

许靖元脑袋晕晕乎乎的走上讲台，快速重读了一遍附加题的题目，沉吟片刻，开口道

“这道题的1、2问，相信大家应该是没有问题的。考场上太紧迫了，可能都没时间看，我们直接来看第三问吧。”

“第三问，大家主要的难点应该就是这个函数的迭代。这样干看着确实难以理解，但是如果我们采用特值法，先带两个数进去算算看，就能比较直观的了解到这个迭代方程的构成。”

许清圆说着，拿了根粉笔，“啪”地捏碎前端一小段粉笔头，左手肘在黑板上撑住自己的身体，右手唰唰唰地板书起来。

几个数代进去计算之后，所有人都能发现这些数迭代之后的结果，的确就在题目要求他们证明的范围之内，台下的同学们如有所悟，窃窃私语。

许清圆用手撑住讲台，轻轻咳嗽了两声，接着道：

“然后我们再看这个函数，其实我们观察它的系数就能发现，如果将系数全都除以二的话，就刚好符合二倍角公式的形式——cos2α=2cos??α-1，因此我们可以考虑将这个函数进行三角变换。”

这是这道题里最关键的一步，同学们听见她这么理所当然的说出来，不禁产生疑惑：

等等，这是怎么发现的？

把系数除以二，然后呢？就和二倍角公式符合了？这是怎么想出来的！

班里渐渐嘈杂起来，无他，只因为这种解法太过牵强，就像是把两种八竿子打不着的东西连在了一起，如同机械降神，他们怎么能学得会呢？

许清圆怎么会不了解大家的疑惑，她接着补充道：

“其实联想到三角函数，也不仅仅是因为这个系数符合二倍角公式，我们要结合我们已经学过函数的值域来看。”

“题目让我们证明的函数值域是一个上下都确定的范围，而我们学习的函数——指数函数、对数函数、一次函数、二次函数甚至三次函数，值域都是无穷大。”

“只有三角函数，值域上下都有确定的界限。”

“这也是我选择三角代换的原因。”

接下来，许清圆没有再讲解，直接用她的方法在黑板上将解题过程写得一清二楚。她在讲台上写着，底下的同学们同时也在草稿纸上跟着她的思路推导演算。

写满两块块黑板之后，即将得出结论时，班里所有人都陆陆续续发出恍然大悟的声音。

哦！居然是这样！

怎么我当时没想到？能做出来的人脑袋都是怎么长得！

许清圆将粉笔放回粉笔盒，正要接着讲她最后才想起的特殊情况，忽然一阵眩晕来袭，她僵在了原地。恰巧此时教室门口吹进来一阵冷风，让她激灵灵打了个冷战。

“我想请问一下，是不是还有某种这种情况没有包括进去的方法？因为我的思路和你的思路基本是一致的，但是我却没有得到满分。”

许清圆抱着手臂搓了搓，朝说话的人看过去。

周肃站在他的位置上，用食指扶了扶山根上的眼镜框，眯着眼前倾着脑袋仔细端详他的板书，像在认真寻找它有可能被扣步骤分的地方。

许清圆想说话，却再次喉咙一痒，重重咳嗽了两声，才得以开口回复他：

“是的，还有一种特殊情况，没有包涵盖在这种做法里。”

接着，她就在黑板上列出方程fx=x，算出两个解后将其代入迭代函数中，无论如何迭代，答案都唯一。

“这就是函数的不动点，”许清圆指着那两个解对台下众人分析道，“当x等于不动点的时候，我们进行转换的这个三角函数就处在周期点的位置，这在理论上是一个需要单独讨论的情况。”

“周肃同学应该就是漏了这一步。”

周肃前倾的脖子瞬间直了起来，他对许清圆快速说了一句“我明白了！”就立刻坐下，在自己的答题卡上涂涂改改。

“老师，我讲完了。”许清圆对一旁的任超示意道。

任超老师笑着点点头，带头鼓掌。

“讲的非常好，思路清晰，步骤完整，考虑得也十分全面，看来你平常没少做难题呀。”

许清圆小幅度摇头，“没有老师，其实我也是训练中等题居多，这次是碰巧遇上一个做过的难题才能在考试的时候想出答案。”

任超走上讲台来拍拍她的肩膀，把原本就体力不支的许清圆拍得往下一沉，“机会是留给有准备的人，你能在考试之前做到这道题，也是你的本事呀。”